Question

cho x,y >0 .CMR: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3(\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))

Answer 1

Vì \(x,y>0\) nên theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\). Dấu "=" xảy ra <=> x = y

Đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=a\left(a\ge2\right)\Rightarrow a^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)

Bpt \(\Leftrightarrow a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)(luôn đúng vì \(a\ge2\))

Dấu "=" xảy ra <=> a = 2 <=> x = y