Lời giải:
Giả sử tồn tại $n\in\mathbb{N}^*$ sao cho $n^2+n+1$ là scp
Khi đó. Đặt \(n^2+n+1=a^2(a\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 4n^2+4n+4=(2a)^2\)
\(\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2a)^2\)
\(\Rightarrow 3=(2a-2n-1)(2a+2n+1)\)
Vì \(2a+2n+1> 2a-2n-1; 2a+2n+1>0\) nên:
\(\left\{\begin{matrix} 2a+2n+1=3\\ 2a-2n-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 4n+2=2\Rightarrow n=0\) (vô lý vì \(n\in\mathbb{N}^*\) )
Vậy điều giả sử là sai, tức là $n^2+n+1$ không phải scp.
Vì n² < n² + n + 1 < (n + 1)² nên n² + n + 1 không là số chính phương. Hết 
n2+n+1
=\(n^2+2\cdot n\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)
=\(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
=>\(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\) không phải số chính phương
=>n2+n+1 ko phải số chính phương
