Question

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=15\\\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=3\end{matrix}\right.\)

Giúp Giang nha mọi người .

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^2+y^2)=15\\ (x-y)(x^2-y^2)=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(x^2+y^2)=15\\ (x-y)^2(x+y)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 5(x-y)^2(x+y)=(x+y)(x^2+y^2)\)

\(\Rightarrow (x+y)[5(x-y)^2-(x^2+y^2)]=0\)

Nếu $x+y=0$ thì $15=(x+y)(x^2+y^2)=0$ (vô lý)

Do đó $x+y\neq 0$

\(\Rightarrow 5(x-y)^2-(x^2+y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2-5xy=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-y)(x-2y)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=2x\\ x=2y\end{matrix}\right.\)

Nếu $y=2x$. Thay vào pt(2):

\((x-2x)[x^2-(2x)^2]=3\)

\(\Leftrightarrow 3x^3=3\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2\)

Nếu \(x=2y\). Thay vào pt(2):

\((2y-y)[(2y)^2-y^2]=3\)

\(\Leftrightarrow 3y^3=3\Rightarrow y^3=1\Rightarrow y=1\Rightarrow x=2\)

Vậy \((x,y)=(1,2)\) và hoán vị.