Violympic toán 9

Lê Ánh Huyền

Cho A = \(2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)

Akai Haruma
1 tháng 10 2018 lúc 8:57

Lời giải:

TH1: $n$ chẵn

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)

Áp dụng vào bài toán:

\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)

\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)

....

\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)

------------

Mặt khác, ta cũng có:

\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)

\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)

......

\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)

\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)

Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$

TH2: $n$ lẻ

Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$

Vậy ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Hoàng Minh
Xem chi tiết
Phương Nguyễn Ngọc Mai
Xem chi tiết
Đào Thị Huyền
Xem chi tiết
minh nguyen thi
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Thùy Linh
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH TÀI
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết