Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, (H thuộc BC). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.

A)Cm:Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

B)Cm:AE.AB=AF.AC

C)Cm:HF.AB+HE.AC=2HB.HC

D)Gọi M là trung điểm của BC. Cm: sinAMB=2sinACB.cosACB

Answer 1

a) \(\Delta ABC\); \(\widehat{A}=90^o\) (1)​

E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC

=> HE \(\perp\) AB ; HF \(\perp\) AC (2)

- Từ (1); (2) => tứ giác AEHF là HCN

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, HE \(\perp\) AB :​​

​\(AH^2=AE.AB\) ( hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền )​ (3)

Xét tam giác AHB vuông tại H, HE \(\perp\) AB :

​​\(AH^2=AF.AC\) ( hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền )​ (4) - Từ (3);(4) => \(AE.AB=AF.AC\left(dpcm\right)\) c) - Ta có tứ giác AEHF là HCN => \(AE=HF\); \(EH=AF\) - Có \(AH^2=AE.AB\) (câu b) <=> \(AH^2=HF.AB\) (5) - Có \(AH^2=AF.AC\) (câu b) <=> \(AH^2=EH.AC\) (6) - Cộng 2 vế (5); (6) => ​\(HF.AB+EH.AC=AH^2+AH^2=2.AH^2\) (7) ​ Xét tam giác ABC vuông tại A, BC \(\perp\) AH :​​ \(BH.HC=AH^2\) ( hệ thức liên quan tới đường cao ) \(\Leftrightarrow2.BH.HC=2.AH^2\) (8) - Từ (7);(8) => \(HF.AB+EH.AC=2.BH.HC\left(dpcm\right)\)

Answer 2

a: Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: \(HF\cdot AB+HE\cdot AC\)

\(=AE\cdot Ab+AF\cdot AC=2\cdot AH^2=2\cdot HB\cdot HC\)