Ôn tập cuối năm phần số học

quan le nguyen

Tìm GTLN, GTNN của A=\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\)

Biết \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)

Akai Haruma
28 tháng 9 2018 lúc 0:09

Lời giải:

Ta có:

\(A=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)

\(=x-\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy}\)

\(=1-3\sqrt{xy}\)

Ta thấy \(\sqrt{xy}\geq 0\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\leq 1\)

Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.

Lại có, theo BĐT Cô-si:

\(1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}=2\sqrt[4]{xy}\)

\(\Rightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
nguyen ngocphuongnguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hồng Hạnh
Xem chi tiết
pham tuan anh
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Tô Thanh Nhii
Xem chi tiết
Wang Junkai
Xem chi tiết
Fight for my way
Xem chi tiết
nguyen ngocphuongnguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Huyền Trang
Xem chi tiết