Question

1. Tìm thương và số dư của phép chia \(2x^2+4x^3-7\) cho x - 3

2. Tìm a để \(x^3-4x^2+5x+a\) chia cho \(x-2\) có số dư là -23

3. Tìm a,b để \(x^3+ax+b\) chia cho \(\left(x+1\right)^2\) dư 2x +1

4. Tìm x , y biết \(x^2+y^2-4y+5=0\)

Answer 1

Bài 1:
Ta có:

\(2x^2+4x^3-7=4x^2(x-3)+14x(x-3)+42(x-3)+119\)

\(=(x-3)(4x^2+14x+42)+119\)

Do đó phép chia $2x^2+4x^3-7$ cho $x-3$ có thương là $4x^2+14x+42$ và dư là $119$

Bài 2:

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức thì phép chia đa thức $f(x)$ cho $x-a$ có dư là $f(a)$

Áp dụng vào bài toán:

\(f(2)=-23\)

\(\Leftrightarrow 2^3-4.2^2+5.2+a=-23\)

\(\Leftrightarrow 2+a=-23\Rightarrow a=-25\)

Answer 2

Bài 3:

Ta có:

\(x^3+ax+b=x(x^2+2x+1)-2x^2-x+ax+b\)

\(=x(x^2+2x+1)-2(x^2+2x+1)+3x+2+ax+b\)

\(=(x-2)(x+1)^2+x(a+3)+(b+2)\)

Vậy $x^3+ax+b$ khi chia $(x+1)^2$ có dư là $x(a+3)+(b+2)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+3=2\\ b+2=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=-1; b=-1\)

Bài 4:

\(x^2+y^2-4y+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(y^2-4y+4)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(y-2)^2+1=0\)

\(\Rightarrow x^2+(y-2)^2=-1\)

Rõ ràng vế trái luôn không âm, mà vế phải âm nên vô lý

Vậy pt vô nghiệm, không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.