Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với 1 điểm E bất kì trên đường chéo BD. Trên tia đối tia EC lấy điểm F sao cho EF=EC. Vẽ FH và Fk lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng:

a) AHFK là hình chữ nhật.

b)AF song song với BD và KH song song với AC

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng

Answer 1

Bạn tự vẽ hình nha!

a) Do ABCD là hình chữ nhật ⇒ Góc BAD = 90 độ. Mà góc BAD+góc KAH = 180 độ (2 góc kề bù) ⇒ 90 độ + góc KAH = 180 độ ⇒ Góc KAH = 90 độ.Vì FH vuông góc với AB ( giả thiết); FK vuông góc với AD (giả thiết) ⇒ Góc FKA= 90 độ và góc FHA= 90 độ. Xét tứ giác AHFK có 3 góc vuông ⇒ Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.

Answer 2

b) Nối A với C, gọi I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Do I là giao điểm của 2 đường chéo của hình chữ nhật ⇒ I là trung điểm của AC (tính chất của hình chữ nhật). Vì EF= EC (giả thiết) ⇒ E là trung điểm của FC. Xét tam giác ACF có E là trung điểm của FC; I là trung điểm của AC ⇒ EI là đường trung bình của tam giác ACF ⇒ EI song song với AF (Tính chất đường trung bình của tam giác).

Answer 3

a)Xét tứ giác AHFK có góc AHF=90(gt), góc HAK=90(gt), góc AKF=90(gt)

=> tứ giác AHFK là hcn

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của HK và AF

Xét tam giác CAF có CO=OA(gt), CE=EF(gt)

=>OE là đường trung bịnh của tam giác CÀ

=>OE//AF hay BD//AF

Ta có OA=OD(ABCD là hcn)

=> tam giác OAD cân tại O

=>góc OAD=góc ODA

Mà góc ODA=góc FAD(so le trong)

=>góc OAD=góc FAD hay góc CAD=góc MAK(1)

Ta lại có MA=MK(AHFK là hcn)

=>tam giác MAK cân tại M

=>góc MAK= góc MKA(2)

Từ (1) và (2)=>góc CAD=góc MKA hay góc CAD=góc HKA

=>AC//HK(có cặp góc slt bằng nhau)

c)Xét tam giác FAC có FM=MA(AHFK là hcn), FE=EC(gt)

=>ME là đường trung bình của tam giác FAC

=>ME//AC(3)

Mà HK//AC(cmt)(4)

Mặt khác M thuộc AC(5)

Từ (3),(4) và (5)=> H,K,E thẳng hàng