Question

Cho các số không âm a , b , c thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0 và \(a^2+b^2+c^2=2\left(ab+bc+ca\right)\)

Chứng minh rằng : \(\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c^2+a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Answer 1

Ta có\(\sqrt{2}\) A=\(\sum\sqrt{\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=\sum\dfrac{\sqrt{2ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\)

=> \(\sqrt{2}A+3=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=4\Rightarrow\sqrt{2}A+3\ge4\)

=> \(A\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

dấu = xảy ra <=> 2 số =1, 1 số =0