Violympic toán 8

Vũ Thu Thảo

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, có M là trung điểm BC, D là điểm đối xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC.

a, C/m AC=BD.

b, Tứ giác BCDE là hình gì?

c, Gọi H là giao điểm AE và BC. Vẽ tia Ax song song HD và cắt BC tại I.

C/m DI=EH

Akai Haruma
7 tháng 9 2018 lúc 19:12

Lời giải:

a)

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AD$

Xét tứ giác $BDCA$ có 2 đường chéo $BC, AD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nen $BDCA$ là hình bình hành.

Do đó: $BD=AC$

b)

Gọi $H$ là giao điểm của $AE$ và $BC$. Do tính đối xứng nên $H$ là trung điểm của $AE$

Ta thấy: \(\frac{AH}{HE}=\frac{AM}{MD}(=1)\Rightarrow HM\parallel ED\) (định lý Ta-let)

\(\Rightarrow ED\parallel BC\) nên $BCDE$ là hình thang.

Từ phần a ta chứng minh được $BDCA$ là hình bình hành nên \(\widehat{DCB}=\widehat{HBA}(1)\) (so le trong)

Xét tam giác $BHE$ và $BHA$ có:

\(BH\) chung

\(\widehat{BHE}=\widehat{BHA}=90^0\) (do tính đối xứng qua đường thẳng)

\(HA=HE\)

\(\Rightarrow \triangle BHE=\triangle BHA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{ABH}(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(\widehat{EBH}=\widehat{DCB}\), do đó $BCDE$ là hình thang cân.

Bình luận (0)
Akai Haruma
7 tháng 9 2018 lúc 19:17

c)

Xét tam giác $HMD$ và $IMA$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{HMD}=\widehat{IMA}(\text{đối đỉnh})\\ \widehat{MHD}=\widehat{MIA}(\text{so le trong})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle HMD\sim \triangle IMA(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{HM}{IM}=\frac{MD}{MA}=1\Rightarrow HM=IM\) hay $M$ là trung điểm của $HI$

Xét tứ giác $HDIA$ có hai đường chéo $HI, DA$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường, do đó $HDIA$ là hình bình hành

\(\Rightarrow DI\parallel HA; DI=HA\)

\(HE=HA\), và $H,E,A$ thẳng hàng nên \(HE=DI, HE\parallel DI \)

\(\Rightarrow HEDI\) là hình bình hành

\(\Rightarrow DI=EH\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Vũ Thu Thảo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Văn Hùng
Xem chi tiết
Trần Quốc Tuấn hi
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Trần Quốc Tuấn hi
Xem chi tiết
Trần Quốc Tuấn hi
Xem chi tiết