Cho tam giác ABC vuông tại A. D,E lần lượt là trung điểm của AB, BC.
a ) Chứng minh rằng ADEC là hình thang vuông.
b ) Gọi F là điểm đối xứng của E qua D. Tứ giác AFEC là hình gì ? Vì sao ?
c ) Gọi M là giao điểm của CF và AE, N là giao điểm của hai đường thẳng DM và AC. Chứng minh ADEN là hình chữ nhật
d ) Gọi K là giao điểm của CF và AB. Chứng minh : AB = 6. DK
Hình em tự vẽ nhé, chị không up ảnh được.
a, \(\Delta ABC\) có: BD = DA (gt)
BE = EC (gt)
\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow\)\(DE=\dfrac{1}{2}AC\) và \(DE \parallel AC\)
Tứ giác ADEC có \(DE \parallel AC\) (cmt) \(\Rightarrow\)Tứ giác ADEC là hình thang mà \(\hat{DAC}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác ADEC là hình thang vuông
b, Ta có: E đối xứng với F qua D \(\Rightarrow\)D là trung điểm của EF \(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}EF\)
Ta có: \(DE=\dfrac{1}{2}EF\left(cmt\right)\)
\(DE=\dfrac{1}{2}AC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow EF=AC\)
Tứ giác AFEC có \(EF \parallel AC\) (cmt)
\(EF=AC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác AFEC là hình bình hành
c, \(\Delta ABC\) có: \(\hat{BAC}=90^o\), AE là trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AE=EB=EC=\dfrac{1}{2}BC\) (trung tuyến thuộc cạnh huyền)
Ta có: \(DE \parallel AC (cmt)\)
\(AB\perp AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow DE\perp AB\)\(\Rightarrow \hat{ADE}=90^o\)
\(\Delta AEB\) có: \(AE=EB\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta AEB\) cân tại E mà ED là đường cao của \(\Delta AEB\) \(\Rightarrow\)ED là phân giác của \(\hat{BEA}\) \(\Rightarrow\)\(\hat{BED}=\hat{DEA}\)
Chứng minh tương tự với \(\Delta AEC\) ta có EN là phân giác \(\hat{AEC}\)\(\Rightarrow\)\(\hat{AEN}=\hat{NEC}\)
Ta có: \(\hat{BED} + \hat{DEA} + \hat{AEN} + \hat{NEC}=180^o\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\hat{DEA} + 2\hat{AEN} =180^o\) (vì \(\hat{BED}=\hat{DEA}\), \(\hat{AEN}=\hat{NEC}\))
\(\Leftrightarrow\)\(2(\hat{DEA}+\hat{AEN})=180^o\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\hat{DEN}=180^o\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hat{DEN}=90^o\)
Tứ giác ADEN có: \(\hat{ADE}=\hat{DEN}=\hat{DAN}=90^o\)\(\Rightarrow\)Tứ giác ADEN là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) 2 đường chéo AE và DN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
d, Ta có: D là trung điểm của EF \(\Rightarrow\)AD là trung tuyến
M là giao điểm của 2 đường chéo AE và DN \(\Rightarrow\)FM là trung tuyến
\(\Delta AFE\) có: AD và FM là 2 trung tuyến của \(\Delta AFE\) mà \(AD\cap FM=\left\{K\right\}\)\(\Rightarrow\)K là trọng tâm của \(\Delta AFE\)
\(\Rightarrow DK=\dfrac{1}{3}AD\)
\(\Leftrightarrow DK=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AB\)(vì \(AD=\dfrac{1}{2}AB\))
\(\Leftrightarrow DK=\dfrac{1}{6}AB\)
\(\Leftrightarrow AB=6DK\)
