Lời giải:
Theo tính chất 3 đường phân giác đồng quy trong tam giác thì $AI$ cũng là phân giác góc $A$
Áp dụng tính chất tia phân giác trong và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB+BC}{AD+CD}=\frac{AB+BC}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{BI}{BD}=\frac{AB+BC}{AC+AB+BC}(1)\)
\(\frac{CI}{EI}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC+BC}{AE+BE}=\frac{AC+BC}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{CI}{CE}=\frac{AC+BC}{AB+AC+BC}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{BI.CI}{BD.CE}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$ theo định lý Pitago đảo (đpcm)
