Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Minh Hoàng

1.Cho tam giác ABC vuông tại A có Ah là đường cao. E là hình chiếu H trên AC, D là hình chiếu H trên AB

a) Chứng minh \(\dfrac{DB}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

b) Cho BC = 10cm, AH = 5cm. Tính SADHE ?

c) Kẻ phân giác BI (\(I\in AC\) ) và phân giác CF (\(F\in AB\) ) cắt nhau tại K. Chứng minh BI.CF = 2.BK.CK

2. Chứng minh hệ thức lượng đảo : nếu \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\) hay AB.AC = BC.AH thì tam giác ABC cuông tại A có AH đường và H nằm giữa B và C

Akai Haruma
23 tháng 8 2018 lúc 23:16

Bài 1:

\(DH\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}\) (định lý Ta-lét)

\(EH\parallel BA\Rightarrow \frac{EC}{CA}=\frac{CH}{CB}\) (Ta-lét)

\(\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{BH}{CH}(1)\)

Theo công thức lượng trong tam giác vuông (sgk) thì :

\(\left\{\begin{matrix} AB^2=BH.BC\\ AC^2=CH.CB\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)

\(\Rightarrow \frac{BD}{EC}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\) (đpcm)

b)

Ta có: \(BH+CH=BC=10\)

\(BH.CH=AH^2=25\) (theo hệ thức lượng)

\(\Rightarrow BH=CH=5\) (cm)

Theo hệ thức lượng:

\(\frac{1}{DH^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow DH=\frac{5}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow HE=\frac{5}{\sqrt{2}}\)

\(S_{ADHE}=DH.HE=\frac{25}{2}\) (cm vuông)

Bình luận (0)
Akai Haruma
23 tháng 8 2018 lúc 23:29

1c)

Theo tính chất đường phân giác:

\(\frac{KI}{BK}=\frac{CI}{CB}\Rightarrow \frac{BI}{BK}=\frac{CI+CB}{CB}\)

\(\frac{KF}{CK}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow \frac{CF}{CK}=\frac{BF+BC}{BC}\)

\(\Rightarrow \frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(CI+CB)(BF+BC)}{BC^2}(1)\)

Cũng theo tính chất tia phân giác:

\(\frac{CI}{AI}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{CI}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}(2)\)

\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{BC}{AC+BC}(3)\)

Từ (1);(2);(3) , thay thế và rút gọn suy ra:

\(\frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(AB+BC+AC)^2}{(AB+BC)(AC+BC)}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2+BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}\)

\(=\frac{2BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}=2\) (theo định lý Pitago)

Do đó:
\(BI.CF=2BK.CK\) (đpcm)

Bình luận (0)
Akai Haruma
23 tháng 8 2018 lúc 23:36

Hình vẽ bài 1:

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Hiền
Xem chi tiết
Oanh Nguyễn Hoàng
Xem chi tiết
Nhan Thanh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
nguyễn hà phương
Xem chi tiết
Thiên Chỉ Hạc
Xem chi tiết
Phan Thị Huyền
Xem chi tiết
nguyễn hương mây
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết