Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Hoàng

Cho các số thực x,y,z \(\ne-1\) thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh \(\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\le\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4xy+4yz+4xz}}\)

Lightning Farron
24 tháng 8 2018 lúc 21:28

WLOG \(x\ge y \ge z\)

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:

\(VT=\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+xz^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\le\dfrac{21+xy^2+yz^2+xz^2}{xy+yz+xz+4}\)\(\le\dfrac{21+x^2y+xyz+yz^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)

\(\le\dfrac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)\(\le\dfrac{21+\dfrac{\left(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)

\(=\dfrac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=VP\)

Dấu "=" khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và h.vị

Bình luận (4)
Lightning Farron
24 tháng 8 2018 lúc 19:17

Còn bài nào khó hơn không? |(.-.)|

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
anh
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Legolas
Xem chi tiết