Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 độ sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB,AC tại E,F.Chứng minh rằng: diện tích tam giác MEF < 1/4 diện tích tam giác ABC

Answer 1

1. Hạ MH vuông góc AB.

Trên AB lấy điểm D sao cho MD vuông góc MF, hơn nữa vì MA vuông góc MB

=> ^AMF = ^BMD (1)( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Tg ABC vuông cân tại A

=> MA = MB (2) và ^MBD = ^MAF = 45o (3)
Từ (1), (2) ,(3) => tg AMF = tg BMD (g.c.g)

=> AF = BD (4) và MD = MF (5)
Mặt khác ^EMF = 45o mà ^DMF = 90o

=> ^DME = EMF = 45o (6)
Từ (5),(6) => tgEMF = tg DME (c.g.c) ( vì có cạnh ME chung)

=> DE = EF (7)
Từ (4) và (7)

=> AB = AE + BD + DE = AE + AF + DE > EF + DE = 2DE

<=> DE < AB/2

<=> MH.DE/2 < MH.AB/4

<=> S(EMF) = S(DME) < S(AMB)/2 = S(ABC)/4 (đpcm)

Answer 2

1. Hạ MH vuông góc AB.

Trên AB lấy điểm D sao cho MD vuông góc MF, hơn nữa vì MA vuông góc MB

=> ^AMF = ^BMD (1)( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Tg ABC vuông cân tại A

=> MA = MB (2) và ^MBD = ^MAF = 45o (3)
Từ (1), (2) ,(3) => tg AMF = tg BMD (g.c.g)

=> AF = BD (4) và MD = MF (5)
Mặt khác ^EMF = 45o mà ^DMF = 90o

=> ^DME = EMF = 45o (6)
Từ (5),(6) => tgEMF = tg DME (c.g.c) ( vì có cạnh ME chung)

=> DE = EF (7)
Từ (4) và (7)

=> AB = AE + BD + DE = AE + AF + DE > EF + DE = 2DE

<=> DE < AB/2

<=> MH.DE/2 < MH.AB/4

<=> S(EMF) = S(DME) < S(AMB)/2 = S(ABC)/4 (đpcm).