Bài 1: Căn bậc hai

Nguyễn Thùy Chi

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

Aki Tsuki
19 tháng 8 2018 lúc 21:57

Đặt: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}+\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}=\dfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{-\sqrt{3}}+\dfrac{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-2+2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow A^2=\dfrac{2+\sqrt{3}+2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+2-\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4+2}{3}=\dfrac{6}{3}=2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{2}\)

Bình luận (0)
Phạm Phương Anh
19 tháng 8 2018 lúc 22:01

Đặt A = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}+1}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}+1}\) \(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{3-\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{9-3}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{9-3}\) \(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\) \(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{A}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{6}=1\) \(\Leftrightarrow\)\(A=\sqrt{2}\) Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{2}\)
Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Hà Uyên
Xem chi tiết
Ngọc Hà
Xem chi tiết
Phương
Xem chi tiết
Phương
Xem chi tiết
Vy Nguyễn Hàn Khả
Xem chi tiết
Taev Kim
Xem chi tiết
Đặng Nhật Linh
Xem chi tiết
ngọc linh
Xem chi tiết
The God Evil
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Anhh
Xem chi tiết