Violympic toán 9

phạm việt hùng

cho x,y,z >0 thoả mãn \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=8\)

tìm Max: \(P=\dfrac{x^2+y^2+z^2+14xyz}{4\left(x+y+z\right)+15xyz}\)

nguyễn viết hoàng
18 tháng 8 2018 lúc 11:42

\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=8\)

=>\(8xyz=xyz+\sum x+\sum xy+1\)

=>\(\sum x^2+14xyz=\left(\sum x\right)^2+2\sum x+2\)

mặt khác

\(8=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{8}{\sqrt[3]{xyz}}\rightarrow xyz\ge1\)

đặt \(\sum x=a\left(a\ge3\right)\)

khi đó \(P=\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15xyz}\le\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15}\)

\(\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\left(a-3\right)^2}{12a^2+45}\le\dfrac{1}{3}\)

vậy max bằng 1/3 khi x=y=z=1

Bình luận (5)
phạm việt hùng
18 tháng 8 2018 lúc 11:01
Bình luận (0)
phạm việt hùng
18 tháng 8 2018 lúc 11:49

xin lỗi mọi người nhá. dướng mẫu là 4(x+y+z)^2

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ghdoes
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Thành
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
trần thị trâm anh
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết