Violympic toán 9

mai thu huyền

cho a,b,c >0

cmr: \(\sum\dfrac{a+b}{bc+a^2}\le\sum\dfrac{1}{a}\)

nguyễn viết hoàng
17 tháng 8 2018 lúc 23:08

thay đề liên tục nhỉ

\(\sum\dfrac{1}{a}=\dfrac{\left(b^2+c^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(b^2+a^2\right)}\)

\(=\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)

=\(\sum\left(\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\right)\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\) cauchy shawrtz

\(=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+bc^2+ab^2+ac^2}=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(ab+c^2\right)}\)

\(=\sum\dfrac{a+b}{ab+c^2}\)(Q.E.D)

Bình luận (0)
mai thu huyền
17 tháng 8 2018 lúc 22:51
Bình luận (0)
Akai Haruma
17 tháng 8 2018 lúc 23:16

Lời giải:

Áp dụng Cauchy-Schwarz kết hợp AM-GM
\(\frac{a+b}{bc+a^2}=\frac{(a+b)(b+c)}{(bc+a^2)(b+c)}=\frac{(a+b)(b+c)}{b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}\)

\(\leq \frac{1}{2}\frac{(a+b)^2+(b+c)^2}{b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{(a+b)^2}{b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}+\frac{(b+c)^2}{b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}\right)\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(a^2+c^2)}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\sum \frac{a+b}{bc+a^2}\leq \frac{a^2+c^2}{b(a^2+c^2)}+\frac{b^2+a^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2+b^2}{a(b^2+c^2)}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
mai thu huyền
Xem chi tiết
Thánh cao su
Xem chi tiết
Hong Ra On
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Uchiha Sasuke
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
王俊凯
Xem chi tiết