Question

cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. gọi P,Q,R,S là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AD, CD, CB.

a) cm: \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2\) KHÔNG ĐỔI

b) cm PQRS nội tiếp

Answer 1

a) Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(AH^2=AB^2-BH^2\)

Xét tam giác CHD vuông tại H ta có:

\(CH^2=CD^2-HD^2\)

Xét (O) ta có:

Tam giác ABD nội tiếp (O)

BD là đường kính

=> Tam giác ABD vuông tại D

=> \(AB^2+AD^2=BD^2\)

Ta có:

\(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=AB^2-HB^2+CD^2-HD^2=AB^2+CD^2\)

Mà \(CD=AD\) ( dễ chứng minh )

Nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=AB^2+AD^2\)ư

MÀ \(AB^2+AD^2=BD^2\)

Nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=BD^2\)

Do BD cố định nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=BD^2\) không đổi

Answer 2

câu b