Violympic toán 9

Hoàng Ngọc Tuyết Nung

a) tìm gtln của \(S=xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

biết x,y,z>0 và x+y+z=1

Akai Haruma
15 tháng 8 2018 lúc 11:35

Lời giải:

Ta có:

\(S=xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\)

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\((xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\leq \left(\frac{xz+yz+xy+xz+yz+xy}{3}\right)^3\)

\(=\left(\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right)^3\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

Do đó:

\(S\leq \left[\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right]^3\leq \left(\frac{2.\frac{1}{3}}{3}\right)^3=\frac{8}{729}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{8}{729}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ghdoes
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Thành
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Không Bít
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết