đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y\)
=> bđt : x^3+y^3>=xy(x+y)
ta có: x^3 + y^3 =(x+y) ( x^2-xy+y^2)>=(x+y)(2xy-xy)=xy(x+y)
\(\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}=\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{ab}}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\right)=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}-1\right)\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+b\) ≥ \(2\sqrt{ab}\) ⇔ \(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\text{≥}2\) ⇔ \(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}-1\text{≥}1\)
⇒\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}-1}\right)\text{≥}\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
⇔ \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\text{≥}\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
P/s : Đề như này mới đúng nhé :3
Áp dụng BĐT Svacxo ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a}}+\dfrac{b}{\sqrt{b}}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Chắc vậy 
mà hình như nếu đề như thế thì cần j phải chứng minh nữa
