Violympic toán 9

Quang Huy Điền

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

CMR : \(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}>\dfrac{1}{2}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
14 tháng 8 2018 lúc 19:58

Ta có :

\(VT=\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\)

Theo BĐT Cauchy ta có :

\(\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

Theo BĐT Cô - Si ta lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
Hoàng Minh Ngọc
Xem chi tiết
王俊凯
Xem chi tiết
Anh Pha
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết