Violympic toán 8

Khanh Hoa

Tìm số nguyên x,y. Biết:

a) \(1+x+x^2+x^3=y^3\)

b) \(x\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right)=y^2\)

Akai Haruma
13 tháng 8 2018 lúc 16:08

Phần a)

Dùng phương pháp kẹp

Xét:

\(y^3-x^3=(1+x+x^2+x^3)-x^3=1+x+x^2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow y^3>x^3(1)\)

Xét:

\(y^3-(x+2)^3=(1+x+x^2+x^3)-(x+2)^3\)

\(=-5x^2-11x-7=\frac{-19}{20}-5(x+\frac{11}{10})^2<0\)

Do đó: \(y^3< (x+2)^3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow x^3< y^3< (x+2)^3\)

\(\Rightarrow y^3=(x+1)^3\)

\(\Leftrightarrow 1+x+x^2+x^3=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Rightarrow x=0; x=-1\)

Tương ứng, ta thu được \(y=1; y=0\)

Vậy \((x,y)=(0;1); (-1;0)\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
13 tháng 8 2018 lúc 16:16

Phần b)

Ta có:

\(x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2\)

\(\Leftrightarrow [x(x+8)][(x+1)(x+7)]=y^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2+8x)(x^2+8x+7)=y^2\)

Đặt \(x^2+8x=a\). Khi đó pt trở thành:

\(a(a+7)=y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+7a=y^2\)

\(\Leftrightarrow 4a^2+28a=4y^2\)

\(\Leftrightarrow (2a+7)^2-49=(2y)^2\)

\(\Leftrightarrow (2a+7-2y)(2a+7+2y)=49\)

Đến đây, lập bảng xét giá trị ta thu được:

\((a,y)=(9,12); (9,-12); (0,0);(-16,-12); (-16,12); (-7,0)\)

\(\Rightarrow (x,y)=(1,12); (-9,12); (1,-12); (-9,-12); (0,0); (-8,0); (-4,-12); (-4,12); (-1,0); (-7,0)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Khanh Hoa
Xem chi tiết
MInemy Nguyễn
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Phan Hà Thanh
Xem chi tiết
Măm Măm
Xem chi tiết
Đang Thuy Duyen
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
What is love?
Xem chi tiết