ta có : \(p\) có dạng là \(30n+1\) hoặc \(30n+k\) với \(k\in\left\{2;3;5;7;9;11;13;17;19;23;29\right\}\)
\(\Rightarrow8p-1\) có dạng \(240n+7\) hoặc \(240n+8k-1\)
mà \(8p-1\) có dạng là \(30m+1\) hoặc \(30m+k⋮̸240n+8k-1\)
\(\Rightarrow8p-1\) có 2 dạng \(240n+8k-1\) và \(30m+k\)
\(\Rightarrow8p-1\) là 1 hợp số (đpcm)
Xét \(p=3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8.3-1=23\\8.3+1=25\end{matrix}\right.\)
Thảo mãn bài toán.
Xét \(p\ne3\)
Giả sử \(8p+1\)là số nguyên tố.
Ta có
\(\Rightarrow\left(8p-1\right)\left(8p+1\right)=63p^2+\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)
Mà vì p khác 3 và 8p - 1 là số nguyên tố nên 8p + 1 phải chia hết cho 3. Nên phải là hợp số. Trái giả sử.
Vậy 8p + 1 là hợp số.
PS: Dữ kiện chia 30 dư gì đó đó cho để giải trí thôi không cần dùng tới.
.
