Question

tìm số nguyên \(x\ge0,y\ge0\), thỏa

\(x^2=y^2+\sqrt{y+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(x^2=y^2+\sqrt{y+1}\)

\(\Rightarrow (x-y)(x+y)=\sqrt{y+1}\)

\(\Rightarrow (x-y)^2(x+y)^2=y+1\)

Do đó: \(y+1\vdots (x+y)^2\)

Với mọi \(y+1>0\) thì từ điều trên suy ra \(y+1\geq (x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow y+1\geq x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow y(y-1)+(x^2-1)+2xy\leq 0(*)\)

+) Nếu \(y=0\) thì \((*)\Leftrightarrow x^2-1\leq 0\Leftrightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x=0; x=1\)

Thử lại thấy \((y=0; x=1)\) thỏa mãn.

+) Nếu \(y=1\Rightarrow x^2-2x+1\leq 0\Leftrightarrow (x-1)^2\leq 0\Rightarrow x=1\)

Thử lại thấy không thỏa mãn.

+) Nếu \(y\geq 2\Rightarrow y(y-1)+x^2-1+2xy\geq 2+x^2-1+4x=x^2+4x+1>0\)

(mâu thuẫn với $(*)$)

Vậy \((x,y)=(1,0)\)