Question

Cho vuông tại A. D trên cạnh huyền BC. Gọi E,F là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. CMR: EA.EB+FA.FC=DB.DC

Answer 1

Lời giải:

Vì tứ giác $DEAF$ có 3 góc vuông nên $DEAF$ là hình chữ nhật.

Do đó: \(AE=DF\)

Ta thấy \(ED\parallel AC\) (cùng vuông góc với $AB$) nên áp dụng định lý Ta-let:

\(\frac{BE}{EA}=\frac{BD}{DC}\)

Lại có: \(DF\parallel BA\) (cùng vuông góc với $AC$) nên áp dụng định lý Ta-let:

\(\frac{AF}{FC}=\frac{BD}{DC}\)

Vậy \(\frac{BE}{EA}=\frac{AF}{FC}=\frac{BD}{DC}=t\)

Khi đó:

\(EA.EB+FA.FC=EA.tEA+tFC.FC=t(EA^2+FC^2)\)

\(=t(DF^2+FC^2)=tDC^2\) (Pitago)

\(=(tDC).DC=BD.DC\)

Ta có đpcm.