* Chứng minh \(a>0\)
Ta có:
\(ab+bc+ca=9\)
\(\Leftrightarrow bc=9-a\left(b+c\right)=9-\left(6-b-c\right)\left(b+c\right)=\left(b+c-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow bc\) cùng dấu
\(\Rightarrow b,c>0\)
Ta lại có:
\(\left(b+c-3\right)=\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2}\)
\(\Leftrightarrow b+c\le6\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=6\\ab+bc+ca=9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a>0\)
* Chứng minh \(a< 1\)
Ta có:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(c-1\right)\left(a-1\right)=ab+bc+ca-2\left(a+b+c\right)+3=0\)
Nên trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 1 số bé hơn 1
\(\Rightarrow a< 1\)
* Chứng minh: \(c>3;b< 3\)
Tương tự ta có:
\(\left(a-3\right)\left(b-3\right)+\left(b-3\right)\left(c-3\right)+\left(c-3\right)\left(a-3\right)=ab+bc+ca-6\left(a+b+c\right)+27=0\)
Nêu không thể đồng thời a, b, c bé hơn 3
\(\Rightarrow c>3\)
\(\Rightarrow b< 3\) (vì \(a+b+c=6\))
Dễ thấy: \(a,b,c\) là 3 nghiệm của pt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-6x^2+9x-abc\)
Theo định lí Rolle thì \(f'\) có 1 nghiệm trên khoảng \(\left(a,b\right)\) và \(\left(b,c\right)\)
Mà \(f'\left(x\right)=3x^2-12x+9=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)\) có 2 nghiệm \(x_1=1;x_2=3\).Do đó:
\(a< x_1=1< b< x_2=3< c\)
Vậy cần cm \(c<4\) . Mặt khác \(c\) đạt GTLN khi \(abc\) đạt GTLN
Xảy ra vì \(a\rightarrow b\rightarrow1\) ta có \(c<4\)
* Chứng minh: \(b>1\)
Giả sử a, b < 1 \(\Rightarrow ab< 1\Rightarrow c\left(a+b\right)>8\)
\(\Rightarrow a+b+\dfrac{c}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{c\left(a+b\right)}{2}}>4\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{2}=6-a-b-\dfrac{c}{2}< 6-4=2\)
\(\Rightarrow c< 4\), lại có \(a< 1\)
\(\Rightarrow b>1\) (mẫu thuẫn giả thuyết)
\(\Rightarrow b>1\)
* Chứng minh \(c< 4\) làm tương tự
Việt đầu tiên là chứng minh
\(a=0,a=1,b=1,b=3,c=3,c=4\)không thỏa bài toán trước rồi mới làm nha.
Có: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=6^2-2\cdot9=18\)
* CM: a,b,c>0
Ta có: \(9=ab+bc+ca< a\left(b+c\right)+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}=a\left(6-a\right)+\dfrac{\left(6-a\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3a^2}{4}-3a< 0\)\(\Rightarrow0< a< 4\)\(\Rightarrow0< a< b< c\)
Lại có: \(18=a^2+b^2+c^2< ac+bc+c^2=c\left(a+b+c\right)=6c\)
\(\Rightarrow c>3\)
*CM: c < 4:
Giả sử: \(c\ge4\Rightarrow c^2\ge4c\)
Suy ra: \(18=a^2+b^2+c^2>\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+4c=\dfrac{\left(6-c\right)^2}{2}+4c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c^2}{2}-2c< 0\) => 0 < c < 4
=> Điều giả sử là sai => c < 4
*CM a < 1:
giả sử: \(1\le a< b< c< 4\),
khi đó ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(a-4\right)\le0\left(1\right)\\\left(b-1\right)\left(b-4\right)< 0\left(2\right)\\\left(c-1\right)\left(c-4\right)< 0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
cộng theo vế (1),(2),(3) ta được:
\(a^2+b^2+c^2\le5\left(a+b+c\right)-12\)
\(\Leftrightarrow18< 5\cdot6-12=18\) (vô lí)
=> Giả sử sai => a < 1
Ta có: a < 1; c < 4
=> \(b=6-a-c>6-1-4=1\)
cần cm: b < 3. Giả sử \(b\ge3\), ta có:\(\left(b-3\right)\left(c-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc\ge3\left(b+c\right)-9=3\left(6-a\right)-9=9-3a\)
\(\Rightarrow9=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc\ge a\left(b+c\right)+9-3a\)
\(\Rightarrow a\left(b+c-3\right)\le0\) (sai vì: a>0; b+c>3)
=> giả sử b ≥ 3 là sai => b<3
Từ các CM trên => \(0< a< 1< b< 3< c< 4\)
→ đpcm
