Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Nguyễn Ngọc Trâm

cho a ,b,c duong . CMR :

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\) >2

Phạm Phương Anh
20 tháng 7 2018 lúc 16:09

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si (a, b, c) dương ta có:

+/ \(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}=\sqrt{\dfrac{b+c}{a}.1}\le(\dfrac{b+c}{a}+1):2=\dfrac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

+/ \(\sqrt{\dfrac{a+c}{b}}=\sqrt{\dfrac{a+c}{b}.1}\le(\dfrac{a+c}{b}+1):2=\dfrac{a+b+c}{2b}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\)

+/ \(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}=\sqrt{\dfrac{a+b}{c}.1}\le(\dfrac{a+b}{c}+1):2=\dfrac{a+b+c}{2c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Khi đó:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) (Trái với giả thiết a, b, c là 3 số dương)

=> Đẳng thức không xảy ra

=> \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Trâm
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
tràn thị trúc oanh
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
TTTT
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Giúp mik với mấy bn ơi C...
Xem chi tiết