Violympic toán 9

Ngân Trần BTS

Cho : A =\(a\sqrt{a}\) + \(\sqrt{ab}\) và B = \(b\sqrt{b}\) + \(\sqrt{ab}\) với a ;b > 0 . CMR nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là số hữu tỉ.

@Akai Haruma

Help me !!!

Akai Haruma
19 tháng 7 2018 lúc 18:13

Lời giải:

Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)

\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)

Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\)\(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)

Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)

Mặt khác:

\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)

\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)

\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)

\(=\sqrt{ab}(A+B)\)

Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.

Bình luận (1)
Hung nguyen
20 tháng 7 2018 lúc 10:00

Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.

\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)

\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\in Q\)

Bình luận (2)
Ngân Trần BTS
19 tháng 7 2018 lúc 17:39

Mình sửa lại đề chút nhé :

CMR : nếu \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)\(\sqrt{ab}\) đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Akai Haruma Lightning Farron......

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Ngân Trần BTS
Xem chi tiết
Juvia Lockser
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết
Thành Nguyễn
Xem chi tiết