Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

poppy Trang

Cho a,b,c >0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1

Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\le2.\)

Nguyễn Xuân Tiến 24
16 tháng 7 2018 lúc 20:05

Đặt VT= \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\right)^2\le\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\)

Lại có \(ab+bc+ca\le\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( tự cm nhé)

Từ đó \(VT^2\le3.\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=4\) (do a+b+c=1)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Như Quỳnh
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Hoàng
Xem chi tiết
👁💧👄💧👁
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Đặng Thị Thu Thảo
Xem chi tiết
Hoang Hung Quan
Xem chi tiết