Lời giải:
Sửa đề thành: \(2^{5n+3}+5^n.3^{n+2}\) mới đúng bạn nhé.
Ta có:
\(2^{5n+3}+5^n.3^{n+2}=8.2^{5n}+5^n.3^n.9\)
\(=8.32^n+9.15^n\)
Thấy rằng: \(32\equiv 15\pmod {17}\Rightarrow 8.32^n\equiv 8.15^n\pmod {17}\)
\(\Rightarrow 8.32^n+9.15^n\equiv 8.15^n+9.15^n\equiv 17.15^n\equiv 0\pmod {17}\)
Tức là: \(2^{5n+3}+5^n.3^{n+2}=8.32^n+9.15^n\vdots 17\) với mọi số $n$ không âm.
cách khác :
+ nếu \(n=1\) ta có : \(2^{5n+3}+5^n.3^{n+2}=391⋮17\)
+ giả sử \(n=k\) thì \(2^{5k+3}+5^k.3^{k+2}⋮17\)
khi đó nếu \(n=k+1\) \(\Rightarrow2^{5n+3}+5^n.3^{n+2}=2^{5\left(k+1\right)+3}+5^{k+1}.3^{k+1+2}\)
\(=2^{5k+3+5}+5^{k+1}.3^{k+2+1}=2^{5k+3}.2^5+5^k.3^{k+2}.5.3\)
\(=15\left(2^{5k+3}+5^k+3^{k+2}\right)+17.2^{5k+3}⋮17\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
