Question

Bài 1: Cho phương trình x^2_2(m+2)+m²+4m+3=0

a,cmr: phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b,Tìm giá trị của m để biểu thức A= x₁²+x₂² đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Câu a : Ta có :

\(\Delta=4\left(m^2+4m+4\right)-4\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4m^2+16m+16-4m^2-16m-12\)

\(=4>0\)

Vì \(\Delta>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .

Câu b : Theo định lý vi-et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m+4\right)^2-2.\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6\)

\(=2m^2+8m+10\)

\(=2\left(m^2+4m+5\right)\)

\(=2\left[\left(m^2+4m+4\right)+1\right]\)

\(=2\left[\left(m+2\right)^2+1\right]\)

Do : \(\left(m+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(m+2\right)^2+1\ge1\Rightarrow2\left[\left(m+2\right)^2+1\right]\ge2\)

Vậy GTNN của \(A\) là 2 . Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)

Wish you study well !!