Question

chứng minh rằng \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ

Answer 1

Đặt x=\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

Giả sử x là số hữu tỉ, nghĩa là x=\(\dfrac{p}{q}\) tối giản (\(p,q\in N,q\ne0\) )

Ta có: \(\dfrac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}\) (vô lí)

Vì \(\dfrac{p^2}{q^2}-5\) là số hữu tỉ và \(2\sqrt{6}\) là số vô tỉ

vậy x=\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỉ

\(\Rightarrow x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ