Ôn tập cuối năm phần số học

Nguyễn Ngọc Trâm

Cho \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{c}=0\) với a,b >0 .

CMR \(\dfrac{a+c}{2a-c}+\dfrac{b+c}{2b-c}>4\)

soyeon_Tiểubàng giải
soyeon_Tiểubàng giải 15 tháng 5 2018 lúc 22:23

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{c}=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2a-c}{ac}\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{c}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{2b-c}{bc}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-c=\dfrac{ac}{b}\\2b-c=\dfrac{bc}{a}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+c}{2a-c}=\dfrac{b\left(a+c\right)}{ac}=\dfrac{ab}{ac}+\dfrac{bc}{ac}=\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}\\\dfrac{b+c}{2b-c}=\dfrac{a\left(b+c\right)}{bc}=\dfrac{ab}{bc}+\dfrac{ac}{bc}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt Cosi cho 2 số sương ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{2}{c}=0\Leftrightarrow\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c}\ge2\)(áp dụng \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\))

Ta có: \(\dfrac{a+c}{2a-c}+\dfrac{b+c}{2b-c}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{a+b}{c}\ge2+2=4\)

Dấu "=" xawy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN