Pham Trong Bach

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y .  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  M = 2 x 3 + y 3 − 3 x y .

A. 7

B.  13 2

C.  17 2

D. 3

Cao Minh Tâm
11 tháng 11 2019 lúc 7:39

Đáp án B

Ta có:

3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y ⇔ 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y  

⇔ 3 x 2 + 2 x y + y 2 − 2 + 2 x y . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y ⇔ 3 x − y 2 . log 2 x − y = 3 2 − 2 x y . log 2 2 − 2 x y  

Xét hàm số f t = 3 t . log 2 t trên khoảng 0 ; + ∞ , có  f ' t = 3 t ln 3. log 2 t + 3 t t . ln 2 > 0 ; ∀ t > 0

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞

f x − y 2 = f 2 − 2 x y ⇒ x 2 + y 2 = 2

Khi đó:

M = 2 x 3 + y 3 − 3 x y = 2 x + y x + y 2 − 3 x y − 3 x y ⇔ 2 M = 2 x + y 2 x + y 2 − 3.2 x y − 3.2 x y 2 x + y 2 x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 − 3 x + y 2 + 6 = 2 x + y 6 − x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 ,

Với  a = x + y ∈ 0 ; 4

Xét hàm số f a = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 trên 0 ; 4 ,

suy ra m ax 0 ; 4 f a = 13.  

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 13 2

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết