Câu hỏi của Pham Trong Bach

Question

Cho lăng trụ ABC A'B'C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là a 3 3 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC.

A. 4 a 3

B. 2 a 3

C. 3 a 4

D. 3 a 2

Cao Minh Tâm · Accepted Answer

Đáp án D
Ta có

d
   
    (
   
    AA
   
    '
   
    ,
   
    B
   
    C
   
    )
   
    =
   
    d
   
    (
   
    A
   
    A
   
    '
   
    ,
   
    (
   
    B
   
    B
   
    '
   
    C
   
    '
   
    C
   
    )
   
    )
   
    =
   
    d
   
    (
   
    A
   
    '
   
    ,
   
    (
   
    B
   
    B
   
    '
   
    C
   
    '
   
    C
   
    )
   
    )

Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’, G là trọng tâm của tam giác ABC
Theo giả thiết ta có

B

C

⊥

A

M

B

C

⊥

A

'

G

⇒
   
    B
   
    C
   
    ⊥
   
    (
   
    A
   
    A
   
    '
   
    G
   
    )
   
    ⇒
   
    B
   
    C
   
    ⊥
   
    A
   
    A
   
    '
   
   , nên tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật có cạnh BC = a
Vì

V

A

'

A

B

C

=

1

3

A
   
    '
   
    G
   
    .

S

Δ

A

B

C

=

1

3

V

L

T

=

a

3

12

⇒
   
    A
   
    '
   
    G
   
    =
   
    a
   
    ⇒
   
    A
   
    A
   
    '
   
    =

A

G

2

+

A

'

G

2

=

2

a

3

⇒

S

B

'

C

'

C

=

2

a

2

3

Có

V

A

'

B

'

C

'

C

=

2

3

V

L

T

=

a

3

6

=

1

3

d
   
    (
   
    A
   
    '
   
    ,
   
    (
   
    B
   
    B
   
    '
   
    C
   
    '
   
    C
   
    )
   
    )
   
    .

S

B

'

C

'

C

⇒
   
    d
   
    (
   
    A
   
    '
   
    ,
   
    (
   
    B
   
    B
   
    '
   
    C
   
    '
   
    C
   
    )
   
    )
   
    =

3

a

2

Chọn DCâu trả lời: Đáp án D
Ta có