Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Neet

Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr

\(\sum\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)

Lightning Farron
16 tháng 10 2017 lúc 19:40

Từ \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\). Tức cần chứng minh

\(\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^4}{ab^2-abc+ac^2}+\dfrac{b^4}{bc^2-abc+a^2b}+\dfrac{c^4}{a^2c-abc+b^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+a^2b+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-3abc}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2b+a^2b+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-3abc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)

Đúng theo Schur bậc 4

Bình luận (4)

Các câu hỏi tương tự
Thảo Vi
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
Thiên Yết
Xem chi tiết
Rồng Xanh
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
trần trang
Xem chi tiết
Serena chuchoe
Xem chi tiết