Question

cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1

tìm gtln cả P=\(\sqrt{a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}}\)+\(\sqrt{b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{4}}\)+\(\sqrt{c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}}\)

Answer 1

Ta có: \(a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2=a\left(a+b+c\right)+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}=-bc\le0\)

Từ đó: \(a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}\le\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}}\le a+\dfrac{b+c}{2}\)

Tương tự: \(\sqrt{b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\dfrac{c+a}{2}\)

\(\sqrt{c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\dfrac{a+b}{2}\)

Cộng vế theo vế, ta được:

\(P\le a+b+c+\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}=2\)

Vậy max_P là 2 khi và chỉ khi a=b=0;c=1 và các hoán vị