Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lưu Phương Thảo

1.cho a,b,c>0,abc=1

tìm Max P= \(\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\)

2.Tìm số tự nhiên n để

a. A= n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố

b.n^5-n+2 là số chính phương

Hung nguyen
12 tháng 4 2017 lúc 16:46

Giải câu 1 thôi câu 2 không hứng lắm:

\(P=\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2a+3b+c+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2b+3c+a+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\right)\left(2\right)\\\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{c+2}+\dfrac{2}{a+2}\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(P\le\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(\le\dfrac{3}{16.3\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\left(4\right)\)

Giờ ta tính Max của \(Q=\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(abc=1\) nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}ab\le1\\c\ge1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(Q=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{\dfrac{a}{2}+2}+\dfrac{1}{\dfrac{b}{2}+2}\right)+\dfrac{1}{c+2}\)

Ta có bổ đề: Với \(x,y>0;xy\le1\) thì

\(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\le\dfrac{2}{xy+1}\)

Áp dụng vào bài toán ta được:

\(Q\le\dfrac{2}{1+\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}+\dfrac{1}{c+2}=\dfrac{2\sqrt{c}}{2\sqrt{c}+1}+\dfrac{1}{c+2}\)

Xét hàm số \(f\left(\sqrt{c}\right)=\dfrac{2\sqrt{c}}{2\sqrt{c}+1}+\dfrac{1}{c+2}\) với \(\sqrt{c}\ge1\) thì hàm số \(f\left(\sqrt{c}\right)\) nghịch biến. Vậy Q đạt GTLN khi c bé nhất.

\(\Rightarrow Q\le f\left(1\right)=1\left(2\right)\)

Từ (4) và (5) ta suy ra

\(P\le\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}.1=\dfrac{1}{4}\)

Vậy GTLN là \(P=\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (1)
soyeon_Tiểubàng giải
12 tháng 4 2017 lúc 17:54

2) A = n3 - n2 + n - 1

A = n2(n - 1) + (n - 1)

A = (n - 1)(n2 + 1)

Để A nguyên tố thì n > 1

=> n2 + 1 > 1

Mà A = (n - 1)(n2 + 1) là số nguyên tố, chỉ gồm 2 ước là 1 và chính nó

Nên A = n2 + 1; n - 1 = 1

=> n = 2 (TM)

b) n5 - n + 2

= n(n4 - 1) + 2

= n(n2 - 1)(n2 + 1) + 2

= n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) + 2

n(n - 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp do n \(\in N\) nên n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 3

=> n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) + 2 chia 3 dư 2, không là số chính phương

Vậy ...

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN