Question

cho a,b >0. Tìm min A=\(\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}\) với x>0

 

Answer 1

Có: \(A=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{ax}{x}+\frac{bx}{x}+\frac{ab}{x}\)

\(=x+a+b+\frac{ab}{x}\)

Áp dụng bđt Cô si với 2 số dương là x và \(\frac{ab}{x}\) ta có:

\(x+\frac{ab}{x}\ge2.\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2.\sqrt{ab}\)

Do đó, \(A\ge2.\sqrt{ab}+a+b=\sqrt{ab}+a+\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x=\frac{ab}{x}\\x>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x^2=ab\Leftrightarrow x=\sqrt{ab}\)

Vậy Min A = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) khi \(x=\sqrt{ab}\)