§1. Bất đẳng thức

Yeutoanhoc

Cho các số thực $x;y$ bất kì và số thực dương $k>1$ sao cho $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=k^2$ Chứng minh: $x+y \geq k-\dfrac{1}{k}$

Trần Minh Hoàng
28 tháng 11 2020 lúc 23:02

Dễ dàng chứng minh được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}+x=k^2\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\\\sqrt{y^2+1}+y=k^2\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(k^2+1\right)=\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)\left(k^2-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(k^2+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)^2\left(k^2-1\right)^2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)^2=x^2+y^2+2+2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\ge_{Cauchy-Schwars}x^2+y^2+2+2\left(xy+1\right)=\left(x+y\right)^2+4\).

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(k^2+1\right)^2\ge\left[\left(x+y\right)^2+4\right]\left(k^2-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2.4k^2\ge4\left(k^2-1\right)^2\Rightarrow x+y\ge\frac{k^2-1}{k}=k-\frac{1}{k}\). (đpcm)

Bình luận (1)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 12 2020 lúc 17:10

Bài này có 1 cách khác là sử dụng AM-GM có vẻ đơn giản hơn:

Câu hỏi của Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Hạ Vi
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến
Xem chi tiết
Dương Nhật Hoàng
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Nguyễn Quốc Việt
Xem chi tiết
Lê Lan Hương
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Hàn Nhật Hạ
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết