Violympic toán 8

nguyen ngoc son

chứng minh rằng n\(^5-5n^3+4n\) chia hết cho 120 với mọi số nguyên n

Nguyễn Lê Phước Thịnh
25 tháng 11 2020 lúc 21:08

Đặt \(A=n^5-5n^3+4n\)

Ta có: \(A=n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\)

Vì A là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A⋮5

Vì n,n-1 và n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow A⋮3\)

Vì trong 5 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp. Và trong 2 số chẵn liên tiếp, chắc chắn có một số chia hết cho 4 nên tích của 2 số chẵn này chia hết cho 8

hay \(A⋮8\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A⋮3\\A⋮5\\A⋮8\end{matrix}\right.\)

và (3;5;8)=1

nên \(A⋮3\cdot5\cdot8=120\)(đpcm)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Thu Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Thư
Xem chi tiết
arthur
Xem chi tiết
Đại Nguyễn
Xem chi tiết
Dương Thị Thu Ngọc
Xem chi tiết
do khanh hoa
Xem chi tiết
Huong Nguyenthi
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Lining
Xem chi tiết