Lời giải:
Ta sẽ tính tổng dạng tổng quát:
\(T=2C^0_n+3C^1_n+4C^2_n+....+(n+2)C^n_n\)
-------------------------------
Theo khai triển Newton:
$(x+1)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+....+C^n_nx^n$
$x^2(x+1)^n=C^0_nx^2+C^1_nx^3+C^2_nx^4+....+C^n_nx^{n+2}$
Đạo hàm 2 vế:
$2x(x+1)^n+nx^2(x+1)^{n-1}=2xC^0_n+3x^2C^1_n+4C^2_nx^3+...+(n+2)C^n_nx^{n+1}$
Cho $x=1; n=2019$ ta có:
$S=2C^0_{2019}+3C^1_{2019}+...+2021C^{2019}_{2019}=2.2^n+2019.2^{n-1}=2023.2^{n-1}$
Cách khác:
Ta thấy: \(C^k_{2019}=C^{2019-k}_{2019}\).
Từ đó \(S=2023\left(C^0_{2019}+C^1_{2019}+...+C^{1009}_{2019}\right)\).
Ta lại có: \(C^0_{2019}+C^1_{2019}+...+C^{2019}_{2019}=2^{2019}\)
\(\Rightarrow C^0_{2019}+C^1_{2019}+...+C^{1009}_{2019}=2^{2018}\).
Từ đó: \(S=2023.2^{2018}\).
Lời giải:
Ta sẽ tính tổng dạng tổng quát:
\(T=2C^0_n+3C^1_n+4C^2_n+....+(n+2)C^n_n\)
-------------------------------
Theo khai triển Newton:
$(x+1)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+....+C^n_nx^n$
$x^2(x+1)^n=C^0_nx^2+C^1_nx^3+C^2_nx^4+....+C^n_nx^{n+2}$
Đạo hàm 2 vế:
$2x(x+1)^n+nx^2(x+1)^{n-1}=2xC^0_n+3x^2C^1_n+4C^2_nx^3+...+(n+2)C^n_nx^{n+1}$
Cho $x=1; n=2019$ ta có:
$S=2C^0_{2019}+3C^1_{2019}+...+2021C^{2019}_{2019}=2.2^n+2019.2^{n-1}=2023.2^{n-1}$
Ta chứng minh công thức tổng quát:
\(2C^0_n+3C^1_n+...+\left(n+2\right)C^n_n=2^{n-1}\left(n+4\right)\). (*)
Dễ thấy (*) đúng với n = 1; 2.
Giả sử (*) đúng đến n - 1 (\(n\in N;n\ge1\)).
Ta chứng minh (*) đúng với n + 1.
Do (*) đúng với n nên: \(2C^0_n+3C^1_n+...+\left(n+2\right)C^n_n=2^{n-1}\left(n+4\right)\).
Ta cần chứng minh: \(2C^0_{n+1}+3C^1_{n+1}+...+\left(n+3\right)C^{n+1}_{n+1}=2^n\left(n+5\right)\).
Ta có công thức: \(C^k_n-C^k_{n-1}=C^{k-1}_{n-1}\).
\(C^0_n+C^1_n+...+C^n_n=2^n\).
Công thức thứ hai khác quen thuộc, công thức thứ nhất bạn chứng minh bằng cách quy đồng.
Do đó: \(\left[2C^0_{n+1}+3C^1_{n+1}+...+\left(n+3\right)C^{n+1}_{n+1}\right]-\left[2C^0_n+3C^1_n+...+\left(n+2\right)C^n_n\right]=3C^o_n+4C^1_n+...+\left(n+2\right)C^{n-1}_n+\left(n+3\right)C^{n+1}_{n+1}=\left(C^o_n+C^1_n+...+C^{n-1}_n\right)+\left[2C^o_n+3C^1_n+...+\left(n+1\right)C^{n-1}_n\right]+n+3=\left(2^n-1\right)+\left[2^{n-1}\left(n+4\right)-\left(n+2\right)\right]+n+3=2^n+2^{n-1}\left(n+4\right)=2^{n-1}\left(n+6\right)\).
Lại có: \(2^n\left(n+5\right)-2^{n-1}\left(n+4\right)=2^{n-1}\left(2n+10-n-4\right)=2^{n-1}\left(n+6\right)\).
Từ đó dễ có đpcm.
(Phải nói cách này hơi dài, phải sử dụng kết quả của cô Akai Haruma. Nhưng vì bạn không viết đạo hàm nên mình làm cách này).
