Lời giải:
Có:
$y'=-2x+(m-1)$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1,2)$ khi và chỉ khi:
$y'=-2x+(m-1)\leq 0, \forall x\in (1;2)$
$\Leftrightarrow m\leq 2x+1, \forall x\in (1;2)$
$\Rightarrow m\leq 2.1+1=3$
Vậy $m\leq 3$. Vì $m$ nguyên và $m\in [0;10]$ nên $m\in\left\{0;1;2;3\right\}$
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là: $0+1+2+3=6$