Violympic toán 8

Đặng Khánh Duy

Cho hình thoi ABCD. Từ B kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với AD và CD. Từ D kẻ DP và DQ lần lượt vuông góc với AB và BC. Gọi H là giao điểm của BM và DP, K là giao điểm của BN và DG. Chứng minh:

a) 4 điểm A, H, K, C thẳng hàng

b) Tứ giác BHDK là hình thoi

Nguyễn Lê Phước Thịnh
20 tháng 11 2020 lúc 12:54

a) Ta có: ABCD là hình thoi(gt)

⇒AB=BC=CD=AD

Xét ΔADB có AB=AD(cmt)

nên ΔADB cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔADB có

BM là đường cao ứng với cạnh AD(gt)

DP là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BM\(\cap\)DP={H}

Do đó: H là trực tâm của ΔADB(Định lí ba đường cao của tam giác)

hay AH⊥BD

Xét ΔADB cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BD(cmt)

nên AH là đường trung trực ứng với cạnh đáy BD(Định lí tam giác cân)(1)

Xét ΔCBD có CD=CB(cmt)

nên ΔCBD cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔCBD có

DQ là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

BN là đường cao ứng với cạnh CD(gt)

DQ\(\cap\)BN={K}

Do đó: K là trực tâm của ΔCBD(Định lí ba đường cao của tam giác)

⇒CK⊥BD

Xét ΔCBD cân tại C có CK là đường cao ứng với cạnh đáy BD(cmt)

nên CK là đường trung trực ứng với cạnh BD(Định lí tam giác cân)(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,H,K,C cùng nằm trên đường trung trực của BD

hay A,H,K,C thẳng hàng(đpcm)

b) Ta có: DP⊥AB(gt)

AB//DC(Hai cạnh đối trong hình thoi ABCD)

Do đó: DP⊥DC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: DP⊥DC(cmt)

BN⊥DC(gt)

Do đó: DP//BN(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay DH//BK

Ta có: BM⊥AD(gt)

AD//BC(hai cạnh đối trong hình thoi ABCD)

Do đó: BM⊥BC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: BM⊥BC(cmt)

DQ⊥BC(gt)

Do đó: BM//DQ(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay BH//DK

Xét tứ giác BHDK có DK//BH(cmt) và DH//BK(cmt)

nên BHDK là hình bình hành(Định nghĩa hình bình hành)

Ta có: H nằm trên đường trung trực của BD(AH là đường trung trực của BD)

nên HB=HD(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Hình bình hành BHDK có HB=HD(cmt)

nên BHDK là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
20 tháng 11 2020 lúc 13:48

Lời giải:
b) Xét tam giác $CBN$ và $ADP$ có:

$\widehat{CNB}=\widehat{APD}=90^0$

$\widehat{BCN}=180^0-\widehat{BCD}=180^0-\widehat{BAD}=\widehat{DAP}$

$\Rightarrow \triangle CBN\sim \triangle ADP$ (g.g)

$\Rightarrow \widehat{CBN}=\widehat{ADP}$

Mà $\widehat{DBC}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow \widehat{CBN}+\widehat{DBC}=\widehat{ADP}+\widehat{ADB}$

$\Leftrightarrow \widehat{DBN}=\widehat{BDP}$

$\Rightarrow HD\parallel BK$

Tương tự $HB\parallel DK$

Tứ giác $HDKB$ có 2 cặp cạnh đối song song nên $HDKB$ là hình bình hành (1)

Dễ thấy $\triangle MAB\sim \triangle PAD$ (g.g)

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ADP}$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow \widehat{ABM}+\widehat{ABD}=\widehat{ADP}+\widehat{ADB}$

$\Leftrightarrow \widehat{MBD}=\widehat{PDB}$

$\Rightarrow \triangle HBD$ cân tại $H$

$\Rightarrow HB=HD$

Hình bình hành $HDKB$ có 2 cạnh kề bằng nhau nên $HDKB$ là hình thoi.

a)

Vì $HDKB$ là hình thoi nên $HK\perp BD$ tại trung điểm $I$ của $BD$

Mà $AC\perp BD$ tại trung điểm $I$ của $BD$

Do đó, $H,A,C,K$ thẳng hàng.

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
20 tháng 11 2020 lúc 13:53

Hình vẽ:
Violympic toán 8

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
phamthiminhanh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết