a) Ta có: ABCD là hình thoi(gt)
⇒AB=BC=CD=AD
Xét ΔADB có AB=AD(cmt)
nên ΔADB cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔADB có
BM là đường cao ứng với cạnh AD(gt)
DP là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
BM\(\cap\)DP={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔADB(Định lí ba đường cao của tam giác)
hay AH⊥BD
Xét ΔADB cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BD(cmt)
nên AH là đường trung trực ứng với cạnh đáy BD(Định lí tam giác cân)(1)
Xét ΔCBD có CD=CB(cmt)
nên ΔCBD cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔCBD có
DQ là đường cao ứng với cạnh BC(gt)
BN là đường cao ứng với cạnh CD(gt)
DQ\(\cap\)BN={K}
Do đó: K là trực tâm của ΔCBD(Định lí ba đường cao của tam giác)
⇒CK⊥BD
Xét ΔCBD cân tại C có CK là đường cao ứng với cạnh đáy BD(cmt)
nên CK là đường trung trực ứng với cạnh BD(Định lí tam giác cân)(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,H,K,C cùng nằm trên đường trung trực của BD
hay A,H,K,C thẳng hàng(đpcm)
b) Ta có: DP⊥AB(gt)
AB//DC(Hai cạnh đối trong hình thoi ABCD)
Do đó: DP⊥DC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: DP⊥DC(cmt)
BN⊥DC(gt)
Do đó: DP//BN(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
hay DH//BK
Ta có: BM⊥AD(gt)
AD//BC(hai cạnh đối trong hình thoi ABCD)
Do đó: BM⊥BC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: BM⊥BC(cmt)
DQ⊥BC(gt)
Do đó: BM//DQ(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
hay BH//DK
Xét tứ giác BHDK có DK//BH(cmt) và DH//BK(cmt)
nên BHDK là hình bình hành(Định nghĩa hình bình hành)
Ta có: H nằm trên đường trung trực của BD(AH là đường trung trực của BD)
nên HB=HD(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
Hình bình hành BHDK có HB=HD(cmt)
nên BHDK là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Lời giải:
b) Xét tam giác $CBN$ và $ADP$ có:
$\widehat{CNB}=\widehat{APD}=90^0$
$\widehat{BCN}=180^0-\widehat{BCD}=180^0-\widehat{BAD}=\widehat{DAP}$
$\Rightarrow \triangle CBN\sim \triangle ADP$ (g.g)
$\Rightarrow \widehat{CBN}=\widehat{ADP}$
Mà $\widehat{DBC}=\widehat{ADB}$
$\Rightarrow \widehat{CBN}+\widehat{DBC}=\widehat{ADP}+\widehat{ADB}$
$\Leftrightarrow \widehat{DBN}=\widehat{BDP}$
$\Rightarrow HD\parallel BK$
Tương tự $HB\parallel DK$
Tứ giác $HDKB$ có 2 cặp cạnh đối song song nên $HDKB$ là hình bình hành (1)
Dễ thấy $\triangle MAB\sim \triangle PAD$ (g.g)
$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ADP}$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}$
$\Rightarrow \widehat{ABM}+\widehat{ABD}=\widehat{ADP}+\widehat{ADB}$
$\Leftrightarrow \widehat{MBD}=\widehat{PDB}$
$\Rightarrow \triangle HBD$ cân tại $H$
$\Rightarrow HB=HD$
Hình bình hành $HDKB$ có 2 cạnh kề bằng nhau nên $HDKB$ là hình thoi.
a)
Vì $HDKB$ là hình thoi nên $HK\perp BD$ tại trung điểm $I$ của $BD$
Mà $AC\perp BD$ tại trung điểm $I$ của $BD$
Do đó, $H,A,C,K$ thẳng hàng.
Hình vẽ: