trong mặt phẳng oxy, tìm ảnh đường thẳng \(d:2x-3y-6=0\) và đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=25\) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}\left(-2;1\right)\). gọi S là tổng các gtri của tham số m để GTLN của hàm số \(y=\left|cos2x+sinx+m\right|\) bằng 3. tính S?
1.
Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow2x-3y-6=0\) (1)
M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến và d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=x-2\\y_{M'}=y+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x_{M'}+2\\y=y_{M'}-1\end{matrix}\right.\) thế vào (1):
\(2\left(x_{M'}+2\right)-3\left(y_{M'}-1\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow2x_{M'}-3y_{M'}+1=0\)
Vậy ảnh của d có pt: \(2x-3y+1=0\)
b. Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-4\right)\) bán kính \(R=5\)
(C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến \(\Leftrightarrow\) (C') có tâm I' là ảnh của I và bán kính bằng R
\(\left\{{}\begin{matrix}x_{I'}=1-2=-1\\y_{I'}=-4+1=-3\end{matrix}\right.\)
Phương trình ảnh của (C): \(\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=25\)
2.
\(y=\left|1-2sin^2x+sinx+m\right|=\left|-2sin^2x+sinx+m+1\right|\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)
\(y=f\left(t\right)=\left|-2t^2+t+m+1\right|\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\) ; \(f\left(-1\right)=\left|m-2\right|\) ; \(f\left(1\right)=\left|m\right|\) ; \(f\left(\frac{1}{4}\right)=\left|m+\frac{9}{8}\right|\)
\(\Rightarrow y_{max}=max\left\{\left|m-2\right|;\left|m+\frac{9}{8}\right|\right\}\) (\(\left|m\right|\) nằm trung gian giữa \(\left|m-2\right|\) và \(\left|m+\frac{9}{8}\right|\) nên ko bao giờ max rơi vào đây)
TH1: \(y_{max}=\left|m-2\right|\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m-2\right|\ge\left|m+\frac{9}{8}\right|\\\left|m-2\right|=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\frac{7}{16}\\\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-1\)
TH2: \(y_{max}=\left|m+\frac{9}{8}\right|\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m+\frac{9}{8}\right|\ge\left|m-2\right|\\\left|m+\frac{9}{8}\right|=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge\frac{7}{16}\\\left[{}\begin{matrix}m=\frac{15}{8}\\m=-\frac{33}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\frac{15}{8}\)
\(S=-1+\frac{15}{8}=\frac{7}{8}\)
