Giả sử \(\overrightarrow{CO}=m.\overrightarrow{CM}\)
\(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BC}+m.\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BC}+m\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\right)\)
\(=\overrightarrow{BC}+m.\overrightarrow{CA}+\frac{m}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-m\overrightarrow{AC}+\frac{m}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=\left(\frac{m}{3}-1\right)\overrightarrow{AB}+\left(1-m\right)\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)
Do B;O;N thẳng hàng nên: \(\frac{\frac{m}{3}-1}{-1}=\frac{1-m}{\frac{3}{4}}\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Hay \(\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}\)
\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\right)\)
\(=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}.\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}\)
\(=\frac{7}{9}\overrightarrow{AB}++\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+x.\overrightarrow{BC}\)
Để A;O; E thẳng hàng \(\Rightarrow\frac{1}{\frac{7}{9}}=\frac{x}{\frac{2}{3}}\Rightarrow x=\frac{6}{7}\)
