Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Tường Nguyễn Thế

Biết rằng biểu thức \(A=\sqrt{\cos^2x+2\sqrt{\cos^4x+3\sqrt{\cos^8x+4\sqrt{\cos^{16}x+5\sqrt{...+n\sqrt{\cos^{2^n}x+,,,}}}}}}=a\cos bx\)

Với \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Giá trị của tổng T=a+b là ?

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 7 tháng 11 2020 lúc 21:26

Với các số dương x;y nào đó, ta có:

\(\left(x+1\right)^2y^{2^x}=\left(x^2+2x+1\right)y^{2^x}=y^{2^x}+x\left(x+2\right)y^{2^x}\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)y^{2^{x-1}}=\sqrt{y^{2^x}+x\left(x+2\right)y^{2^x}}\) (1)

Thế \(x\) bằng \(x+1\) vào biểu thức trên:

\(\Rightarrow\left(x+2\right)y^{2^x}=\sqrt{y^{2^{x+1}}+\left(x+3\right)\left(x+1\right)y^{2^{x+1}}}\) (2)

Thế (2) vào vế phải của (1):

\(\Rightarrow\left(x+1\right)y^{2^{x-1}}=\sqrt{y^{2^x}+x\sqrt{y^{2^{x+1}}+\left(x+1\right)\left(x+3\right)y^{2^{x+1}}}}\) (3)

Tương tự, ở (1) thế \(x\) bằng \(x+2\) ta được:

\(\left(x+3\right)y^{2^{x+1}}=\sqrt{y^{2^{x+2}}+\left(x+2\right)\left(x+4\right)y^{2^{x+2}}}\) (4)

Thế (4) vào (3):

\(\Rightarrow\left(x+1\right)y^{2^{x-1}}=\sqrt{y^{2^x}+x\sqrt{y^{2^{x+1}}+\left(x+1\right)\sqrt{y^{2^{x+2}}+\left(x+2\right)\left(x+4\right)y^{2^{x+2}}}}}\)

Cứ làm liên tục như vậy ta được:

\(\left(x+1\right)y^{2^{x-1}}=\sqrt{y^{2^x}+x\sqrt{...+\left(x+n\right)\sqrt{y^{2^{x+n+1}}+\left(x+n+1\right)\left(x+n+3\right)y^{x+n+1}+...}}}\)

Thế \(x=2\)\(y=\sqrt{cosx}\) vào biểu thức trên ta được:

\(3cosx=\sqrt{cos^2x+2\sqrt{cos^4x+3\sqrt{...+n\sqrt{cos^{2^n}x+...}}}}\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN