a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=3^2+5^2=34\)
\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{34}cm\)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
mà HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(I là trung điểm của AC)
nên \(HI=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(HI=\frac{\sqrt{34}}{2}cm\)
Vậy: \(HI=\frac{\sqrt{34}}{2}cm\)
b) Xét tứ giác AHCK có
I là trung điểm của đường chéo AC(gt)
I là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua I)
Do đó: AHCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHCK có \(\widehat{AHC}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AHCK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Xét ΔCMA có
H là trung điểm của MC(M và C đối xứng nhau qua H)
I là trung điểm của AC(gt)
Do đó: HI là đường trung bình của ΔCMA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HI//AM và \(HI=\frac{AM}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà K∈HI(gt)
nên AM//HK(đpcm)
