Question

cho tam giác ABC nhọn.AH vuông góc BC. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC. MN cắt AH ở I. a) chứng minh rằng I là trung điểm AH. b) lấy Q đối xứng với P qua N. Chứng minh tứ giác ABPQ là hình bình hành. c)tứ giác MHPN là hình gì ? d)gọi K là trung điểm của MN. O là giao điểm của CK và QP. F là giao điểm của MN và QC. chứng minh B,O,F thẳng hàng

Answer 1

a) Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay MI//BH

Xét ΔABH có

B là trung điểm của AB(gt)

MI//BH(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

b)

Ta có: Q đối xứng với P qua N(gt)

nên N là trung điểm của QP

Xét ΔACB có

P là trung điểm của BC(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔACB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒PN//AB và \(PN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà Q∈PN và \(PN=\frac{PQ}{2}\)(N là trung điểm của PQ)

nên PQ//AB và PQ=AB

Xét tứ giác ABPQ có PQ//AB(cmt) và PQ=AB(cmt)

nên ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

P là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MP//AC và \(MP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)

nên \(HN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MP=NH

Xét tứ giác HPNM có HP//MN(MN//BC, H∈BC, P∈BC)

nên HPNM là hình thang có hai đáy là HP và MN(Định nghĩa hình thang)

Hình thang HPNM(HP//MN) có MP=NH(cmt)

nên HPNM là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)